最近因为在不少文章中遇到End与Coend相关的技术，而且enriched category的课本中也大费周章地定义End，于是决定花些时间专门学习。出乎我意料的是，学习Co/End的核心技术不需要花费多少时间，但足以让人看到其强大的作用。
Co/End Calculus系统记载了Co/End Calculus（（余）端演算）的内容，我只读了前面一点点，这些部分其实在任何涉及到End的范畴论书中应该都会提到。本文仅仅是闲暇时简单记录一下Co/End演算的威力。
上半年在Bilibili上看到了有up做Youtube博主About Oliver盲玩MC的切片视频，对Oliver产生了很大的兴趣，在Discord上了解到他们有官方的服务器，遂加入到此服务器中。本文算是我断断续续沉浸80个小时之后的一些碎语与感怀。
Munkres Topology Solution: Chapter 8
Let $X$ equal the countable union $\bigcup B_n$. Show that if $X$ is a nonempty Baire space, at least one of the sets $\overline{B_n}$ has a nonempty interior.
Munkres Topology Solution: Chapter 7
Let X be a metric space.
(a) Suppose that for some $\epsilon>0$, every $\epsilon$-ball in $X$ has compact closure. Show that $X$ is complete.
(b) Suppose that for each $x\in X$ there is an $\epsilon>0$ such that the ball $B(x,\epsilon)$ has compact closure. Show by means of an example that $X$ need not be complete.
Munkres Topology Solution: Chapter 5
Let $X$ be a space. Let $\mathscr D$ be a collection of subsets of $X$ that is maximal with respect to the finite intersection property.
(a) Show that $x\in \bar D$ for every $D\in\mathscr D$ iff every open nbhd of $x$ belongs to $\mathscr D$. Which implication uses maximality of $\mathscr D$?
(b) Let $D\in\mathscr D$. Show that if $A\supset D$, then $A\in\mathscr D$
(c) Show that if $X$ satisfies the $T_1$ axiom, there is at most one point belonging to $\bigcap_{D\in\mathscr D}\bar D$
Munkres Topology Solution: Preface
Munkres拓扑是最经典的点集拓扑教材之一，但奇怪的是网络上我只找到前四章的解答，至于第五到八章，则没有系统完整的解答，只有MSE等论坛上有分散的问答，查起来有些麻烦。去年因为被嫌弃拓扑学得比较烂，我在上学期挨个做完了Munkres点集拓扑的大部分习题，不过单纯做题并没有让自己拓扑水平得到提升，最近整理解答时还是发现许多内容忘记了。现在把自己上学期写的解答整理出来，方便自己查阅且为后来者学习提供方便。
我只打算写第五到八章的习题解答，至于第一到四章，可以参考Vadim的博客，这上面有非常详细的解答，评论区也有适当的讨论或勘误。
对于解答，再作一些说明：
旅行的意义是什么？我是说，在技术无所不能的前夕，互联网可以找到远比个人旅行能获取的更多信息，纪念品可以在网络上购到，占据大多数人旅行之大部分的人景合照可以由ps技术得到或ai生成。虽然我也同意目前技术还做不到完美，但倘若——我们就作这样的假设：技术若真发展到完美的地步，那么旅行的意义还余下些什么？毕竟大多数人的旅行基本只有拍照、品尝与观景。
有一个颇有哲学含义的定理这样是说的，$A\cong B\Leftrightarrow \mathrm{Hom}(-, A)\cong\mathrm{Hom}(-, B)$。一件事物之完整内涵无外乎对其一切的感知或反之。风是客观存在的事物，而我感受到了面颊的吹拂，便知道了风的存在；我看到树的摇曳，便知道了风的方向；如果我还恰好站在老家的麦田中，那风便拥有了形状……如果有人能穷尽一切途径去观察这风，那他不多不少正好可以还原这风的整个面貌。
距离上一次写博客已经过去近两年，说是写博客，当时更接近探索博客的各种主题，而实质的内容却没有。最近手头琐事终于告一段落，得来数月的空闲，遂想起重拾这段经历，想来自己这几年不缺乏经历，却缺了记录。
有一句话我的印象很深刻：If you can’t be a poet, be a poem. 我为自己的研究生方向选择了基础数学，而且是一个在基础数学中都算冷门的方向，有时候难免在夜不能寐时反问自己是否把路走太窄了。我一直深知自己在数学方面实在没太多天赋，仅凭年轻的头铁走到现在，虽还没撞到南墙，却时不时觉着前方有一堵障碍，我始终活在它的阴影之下，不知何时会碰上。
做数学就是写诗，这毫无疑问，无论是调侃为竞赛命题学的数学，还是做前沿的数学，都是在写一首首晦涩的诗，但我本科以来就很少体会到自己谱诗的乐趣，常常是无从下手，最后只能欣赏他人的作品。是否能顺利毕业呢，毕业后又何去何从，这些我都不敢去考虑，作为没有天赋的人走这条路，注定是付出比别人更多的努力，最后拿着比同龄人普遍低的回报。但是话又说回来，我失眠的夜晚，往往是困在更广阔的生与死的问题，那么既然人只能活这一辈子，还不去追求自己的理想，稀里糊涂地赶路，岂不悲哉？一位老师讲过，所爱和所长重叠，实在可遇不可求，对于大多数人来说，所爱与所长，总要做出选择。所以既然我注定成不了诗人，那么我暂时选择成为一首诗。
回想这本科这三年的经历，我有一段时间像个中二少年一样，将自己伪装成沉浸在数学中的角色，对周遭的一切漠不关心，冷淡。但逐渐的才意识到自己正值而立之年，却整日在泡影一样的世界中，错过了世界的太多美好，我想到每天摸鱼学几个法语单词的日子里看到的一句话：La vérité ne se trouve d’ailleurs pas dans les livres, mais dans la vie. 真相不在书中，而在生活里。如果错过生活里的细节，那对自己灵魂的理解往往只存在自己大脑编造的幻象里，进行着某种角色扮演。
别人问我喜欢在乡村还是城市呢，一年前我将毫不犹豫地选择乡村，因为哪怕小时候在农村长大，我却也没甚干过农活，于是总只是在幻想乡村中静谧平淡的日子，幻想自己喜欢一个人独居。但走过了更多地方后，我才明白自己其实离不开城市的喧嚣，我喜欢独处，但喜欢的是将自己置身在人群、车海中的孤独，喜欢作为旁观者观察海量的故事与细节，就像摩天大楼随机一层楼晚上的一盏灯，然后才终于明白小时候喜欢的一些游戏为何吸引我。所以我才说，想做一首世俗的诗。我做不到超然世外，我离不开世俗的景色。