最近几个月，AI 在数学上的进展已经到了令人有些麻木的程度。竞赛成绩早已不再是最值得讨论的事情。长期开放问题被解决或实质推进，新的反例被发现，大规模的证明搜索与形式化验证开始进入真正的研究数学。2026 年 8 月，OpenAI 一次公布了十项数学与理论计算机科学方面的进展，其中一些成果在数学社区看来足以构成传统意义上的重要研究工作。到了 9 月，围绕 Navier–Stokes 千禧年问题的候选解答又把这种冲击推到了大众视野的中央。
日光之下，有一件虚空的事：一只白猫，蹲在路旁，无所经营，也无所积蓄，安静观看来往的人。它不知众人从哪里来，也不问他们将往哪里去；有人匆匆而过，有人低头看路，有人心中装着尚未完成的事。惟有它伏在那里，任日影从身上缓缓移过去，仿佛世上并无什么催逼它。
Rethlas是北大团队开源的两个Agent集合体，用于辅助数学证明，其中一个Agent负责推理，另一个Agent负责验证想法，整个过程基本是模拟人类数学工作者的工作流（直觉推导+仔细验证）。最近一位北大的数学工作者用Rethlas连发若干篇代数几何方面的文章，即使没有单位距离猜想重磅，但也引起了一些骚动。这件事特殊的地方在于，Rethlas是开源的，只需要对Codex的访问权限即可使用，正好我手里有ChatGPT plus订阅，这两天便花了些时间折腾了一下。
最近因为在不少文章中遇到End与Coend相关的技术，而且enriched category的课本中也大费周章地定义End，于是决定花些时间专门学习。出乎我意料的是，学习Co/End的核心技术不需要花费多少时间，但足以让人看到其强大的作用。
Co/End Calculus系统记载了Co/End Calculus（（余）端演算）的内容，我只读了前面一点点，这些部分其实在任何涉及到End的范畴论书中应该都会提到。本文仅仅是闲暇时简单记录一下Co/End演算的威力。
上半年在Bilibili上看到了有up做Youtube博主About Oliver盲玩MC的切片视频，对Oliver产生了很大的兴趣，在Discord上了解到他们有官方的服务器，遂加入到此服务器中。本文算是我断断续续沉浸80个小时之后的一些碎语与感怀。
Munkres Topology Solution: Chapter 8
Let $X$ equal the countable union $\bigcup B_n$. Show that if $X$ is a nonempty Baire space, at least one of the sets $\overline{B_n}$ has a nonempty interior.
Munkres Topology Solution: Chapter 7
Let X be a metric space.
(a) Suppose that for some $\epsilon>0$, every $\epsilon$-ball in $X$ has compact closure. Show that $X$ is complete.
(b) Suppose that for each $x\in X$ there is an $\epsilon>0$ such that the ball $B(x,\epsilon)$ has compact closure. Show by means of an example that $X$ need not be complete.
Munkres Topology Solution: Chapter 5
Let $X$ be a space. Let $\mathscr D$ be a collection of subsets of $X$ that is maximal with respect to the finite intersection property.
(a) Show that $x\in \bar D$ for every $D\in\mathscr D$ iff every open nbhd of $x$ belongs to $\mathscr D$. Which implication uses maximality of $\mathscr D$?
(b) Let $D\in\mathscr D$. Show that if $A\supset D$, then $A\in\mathscr D$
(c) Show that if $X$ satisfies the $T_1$ axiom, there is at most one point belonging to $\bigcap_{D\in\mathscr D}\bar D$