上一篇讨论了 integral involutive quantaloid 的 weak tabularity 与 topos。这次只从笛卡尔闭性出发，在有界 \(Q\)-valued sets 中得到同样的结论，而且标量判据可以写得很短：

\[ K_*(Q)\text{ 笛卡尔闭} \quad\Longleftrightarrow\quad K_*(Q)\text{ 是 topos} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall a\in Q,\quad\bigl(a^2\le a\ \Longrightarrow\ a^2=a\bigr). \]

这里 \(Q\) 是任意交换幺 quantale，不要求 integral 或 divisible；\(K_*(Q)\) 使用有界对角 \(D_*Q\)，态射取所有左伴随 distributors。证明的核心是一个自推出：乘以 singleton 后，它的两个标记点仍保留原来的交叉 hom，而这个 hom 恰好成为乘积投影的像幂等元。

本文的出发点是 \(Q\)-Set 何时构成 topos 的问题。胡晓与申力立在 Q-Set is not generally a topos（Theorem 5.6）中证明：对 commutative、unital、divisible quantale \(Q\)，\(Q\)-Set 是 topos 当且仅当 \(Q\) 的乘法就是 meet，即 \(Q\) 是 frame quantale。用 enriched category 的语言，所讨论的范畴正是 \(K(DQ)\)。

把底层从 \(DQ\) 换成一般的 small integral involutive quantaloid \(\mathcal Q\)，仍然可以得到一个简洁的答案：\(K(\mathcal Q)\) 是 topos 当且仅当 \(\mathcal Q\) weakly tabular。下面记录这个刻画的证明。充分性接到已有的 sheaf representation theorem，必要性则来自 topos 中子对象并的有效性；最后再回到 \(DQ\) 看原来的问题。