最近因为在不少文章中遇到End与Coend相关的技术，而且enriched category的课本中也大费周章地定义End，于是决定花些时间专门学习。出乎我意料的是，学习Co/End的核心技术没有花费我多少时间，但我已经看到其强大的作用。

Co/End Calculus系统记载了Co/End Calculus（（余）端演算）的内容，我目前只读了前面一点点，这些部分其实在任何涉及到End的范畴论书中应该都会提到。本文仅仅是闲暇时简单记录一下Co/End演算的威力。

Test local changes

上半年在Bilibili上看到了有up做Youtube博主About Oliver盲玩MC的切片视频，对Oliver产生了很大的兴趣，在Discord上了解到他们有官方的服务器，遂加入到此服务器中。本文算是我断断续续沉浸80个小时之后的一些碎语与感怀。

§48 Baire Spaces

Ex.48.1

Let $X$ equal the countable union $\bigcup B_n$. Show that if $X$ is a nonempty Baire space, at least one of the sets $\overline{B_n}$ has a nonempty interior.

§43 Complete Metric Spaces

Ex.43.1

Let X be a metric space.
(a) Suppose that for some $\epsilon>0$, every $\epsilon$-ball in $X$ has compact closure. Show that $X$ is complete.
(b) Suppose that for each $x\in X$ there is an $\epsilon>0$ such that the ball $B(x,\epsilon)$ has compact closure. Show by means of an example that $X$ need not be complete.

§39. Local Finiteness

Ex.39.1

Check the statements in Example 1.

§37. Tychonoff Theorem

Ex.37.1

Let $X$ be a space. Let $\mathscr D$ be a collection of subsets of $X$ that is maximal with respect to the finite intersection property.
(a) Show that $x\in \bar D$ for every $D\in\mathscr D$ iff every open nbhd of $x$ belongs to $\mathscr D$. Which implication uses maximality of $\mathscr D$?
(b) Let $D\in\mathscr D$. Show that if $A\supset D$, then $A\in\mathscr D$
(c) Show that if $X$ satisfies the $T_1$ axiom, there is at most one point belonging to $\bigcap_{D\in\mathscr D}\bar D$

Munkres拓扑是最经典的点集拓扑教材之一，但奇怪的是网络上我只找到前四章的解答，至于第五到八章，则没有系统完整的解答，只有MSE等论坛上有分散的问答，查起来有些麻烦。去年因为被嫌弃拓扑学得比较烂，我在上学期挨个做完了Munkres点集拓扑的大部分习题，不过单纯做题并没有让自己拓扑水平得到提升，最近整理解答时还是发现许多内容忘记了。现在把自己上学期写的解答整理出来，方便自己查阅且为后来者学习提供方便。

我只打算写第五到八章的习题解答，至于第一到四章，可以参考Vadim的博客，这上面有非常详细的解答，评论区也有适当的讨论或勘误。

对于解答，再作一些说明：

1. 一些题目可能会跳过。比如检查正文中的例子的细节、直接的验证定义或对正文定理的直接推广等。
2. Munkres中有些题目是错的，我会在对应的地方注明这点。
3. 一些题目我可能暂时没写，后面会补充。
4. 我说某点的“邻域（nbhd）”一般不特指开邻域，而是指包含此点某开邻域的集合，开的邻域我会单独说明。
5. 解答都是我自己做的或网络收集得到，没有人检查过，故不保证解答的正确性，甚至可能狗屁不通，如果发现有错误之处你可以评论纠错或给我发邮件。

前言

旅行的意义是什么？我是说，在技术无所不能的前夕，互联网可以找到远比个人旅行能获取的更多信息，纪念品可以在网络上购到，占据大多数人旅行之大部分的人景合照可以由ps技术得到或ai生成。虽然我也同意目前技术还做不到完美，但倘若——我们就作这样的假设：技术若真发展到完美的地步，那么旅行的意义还余下些什么？毕竟大多数人的旅行基本只有拍照、品尝与观景。

有一个颇有哲学含义的定理这样是说的，$A\cong B\Leftrightarrow \mathrm{Hom}(-, A)\cong\mathrm{Hom}(-, B)$。一件事物之完整内涵无外乎对其一切的感知或反之。风是客观存在的事物，而我感受到了面颊的吹拂，便知道了风的存在；我看到树的摇曳，便知道了风的方向；如果我还恰好站在老家的麦田中，那风便拥有了形状……如果有人能穷尽一切途径去观察这风，那他不多不少正好可以还原这风的整个面貌。