有界 Q-valued sets 的笛卡尔闭性与 topos
上一篇证明了：对 small integral involutive quantaloid $\mathcal R$，$K(\mathcal R)$ 是 topos 当且仅当 $\mathcal R$ weakly tabular。这次继续问：如果只假设笛卡尔闭，能推出多少？
对任意交换幺 quantale $Q$，答案在有界相等度的版本中仍然很简洁。记 $D_*Q$ 为 bounded-diagonal quantaloid，$K_*(Q)=K(D_*Q)$，则
$$
K_*(Q)\text{ 笛卡尔闭}
\quad\Longleftrightarrow\quad K_*(Q)\text{ 是 topos}
\quad\Longleftrightarrow\quad
p(p\to x)^2=p(p\to x)\quad(x\le p).
$$
这里不要求 $Q$ integral 或 divisible。证明的关键是在一般 integral 底层上，从一个指数对象推出 $\kappa_t(q)=\top_{q,t}\top_{t,q}$ 的幂等性。