§37. Tychonoff Theorem

Ex.37.1

Let $X$ be a space. Let $\mathscr D$ be a collection of subsets of $X$ that is maximal with respect to the finite intersection property.
(a) Show that $x\in \bar D$ for every $D\in\mathscr D$ iff every nbhd of $x$ belongs to $\mathscr D$. Which implication uses maximality of $\mathscr D$?
(b) Let $D\in\mathscr D$. Show that if $A\supset D$, then $A\in\mathscr D$
(c) Show that if $X$ satisfies the $T_1$ axiom, there is at most one point belonging to $\bigcap_{D\in\mathscr D}\bar D$

Munkres拓扑是最经典的点集拓扑教材，但奇怪的是网络上只能找到前四章的解答，至于第五到八章，则没有系统完整的解答，只有MSE等论坛上有分散的问答，查起来有些麻烦。我想在空闲时间把自己这学期写的解答放出来，为后来者学习提供方便。考虑到Munkres这本书的受众，我尽量用英文写解答。

我目前只打算写第五到八章的习题解答，第九章之后是代数拓扑的内容，我不会使用这本书来学代数拓扑，大多数人也不会这样做。至于第一到四章，可以参考Vadim的博客，这上面有非常详细的解答，评论区也有适当的讨论或勘误。

对于解答，我再作一些说明：

1. 过于简单的题目我可能会跳过。比如检查正文中的例子的细节或直接的验证定义等。
2. 很复杂或深刻著名的结论我会尽量说明证明的动机，以及额外补充一些反例。
3. 如果有些解答中有些过于繁琐的细节，我可能也会略去，如果可能，我会提供MSE链接。
4. Munkres不是圣经，有些题目其实是错的，我会在对应的地方注明这点。