Munkres Topology Solution: Chapter 7

§43 Complete Metric Spaces

Ex.43.1

Let X be a metric space.
(a) Suppose that for some $\epsilon>0$, every $\epsilon$-ball in $X$ has compact closure. Show that $X$ is complete.
(b) Suppose that for each $x\in X$ there is an $\epsilon>0$ such that the ball $B(x,\epsilon)$ has compact closure. Show by means of an example that $X$ need not be complete.

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Munkres Topology Solution: Chapter 5

§37. Tychonoff Theorem

Ex.37.1

Let $X$ be a space. Let $\mathscr D$ be a collection of subsets of $X$ that is maximal with respect to the finite intersection property.
(a) Show that $x\in \bar D$ for every $D\in\mathscr D$ iff every open nbhd of $x$ belongs to $\mathscr D$. Which implication uses maximality of $\mathscr D$?
(b) Let $D\in\mathscr D$. Show that if $A\supset D$, then $A\in\mathscr D$
(c) Show that if $X$ satisfies the $T_1$ axiom, there is at most one point belonging to $\bigcap_{D\in\mathscr D}\bar D$

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Munkres Topology Solution: Preface

Munkres拓扑是最经典的点集拓扑教材之一,但奇怪的是网络上我只找到前四章的解答,至于第五到八章,则没有系统完整的解答,只有MSE等论坛上有分散的问答,查起来有些麻烦。去年因为被嫌弃拓扑学得比较烂,我在上学期挨个做完了Munkres点集拓扑的大部分习题,不过单纯做题并没有让自己拓扑水平得到提升,最近整理解答时还是发现许多内容忘记了。现在把自己上学期写的解答整理出来,方便自己查阅且为后来者学习提供方便。

我只打算写第五到八章的习题解答,至于第一到四章,可以参考Vadim的博客,这上面有非常详细的解答,评论区也有适当的讨论或勘误。

对于解答,再作一些说明:

  1. 一些题目可能会跳过。比如检查正文中的例子的细节、直接的验证定义或对正文定理的直接推广等。
  2. Munkres中有些题目是错的,我会在对应的地方注明这点。
  3. 一些题目我可能暂时没写,后面会补充。
  4. 我说某点的“邻域(nbhd)”一般不特指开邻域,而是指包含此点某开邻域的集合,开的邻域我会单独说明。
  5. 解答都是我自己做的或网络收集得到,没有人检查过,故不保证解答的正确性,甚至可能狗屁不通,如果发现有错误之处你可以评论纠错或给我发邮件