§43 Complete Metric Spaces

Ex.43.1

Let X be a metric space.
(a) Suppose that for some $\epsilon>0$, every $\epsilon$-ball in $X$ has compact closure. Show that $X$ is complete.
(b) Suppose that for each $x\in X$ there is an $\epsilon>0$ such that the ball $B(x,\epsilon)$ has compact closure. Show by means of an example that $X$ need not be complete.

§39. Local Finiteness

Ex.39.1

Check the statements in Example 1.

§37. Tychonoff Theorem

Ex.37.1

Let $X$ be a space. Let $\mathscr D$ be a collection of subsets of $X$ that is maximal with respect to the finite intersection property.
(a) Show that $x\in \bar D$ for every $D\in\mathscr D$ iff every open nbhd of $x$ belongs to $\mathscr D$. Which implication uses maximality of $\mathscr D$?
(b) Let $D\in\mathscr D$. Show that if $A\supset D$, then $A\in\mathscr D$
(c) Show that if $X$ satisfies the $T_1$ axiom, there is at most one point belonging to $\bigcap_{D\in\mathscr D}\bar D$

Munkres拓扑是最经典的点集拓扑教材，但奇怪的是网络上只能找到前四章的解答，至于第五到八章，则没有系统完整的解答，只有MSE等论坛上有分散的问答，查起来有些麻烦。我想在空闲时间把自己这学期写的解答放出来，为后来者学习提供方便。考虑到Munkres这本书的受众，解答用英文书写。

我目前只打算写第五到八章的习题解答，第九章之后是代数拓扑的内容，我不会使用这本书来学代数拓扑，大多数人也不会这样做。至于第一到四章，可以参考Vadim的博客，这上面有非常详细的解答，评论区也有适当的讨论或勘误。

对于解答，我再作一些说明：

1. 过于简单的题目我可能会跳过。比如检查正文中的例子的细节、直接的验证定义或对正文定理的直接推广等。
2. Munkres中有些题目是错的，我会在对应的地方注明这点。
3. 我不关注拓扑群，所以拓扑群的习题我都跳过。
4. 一些比较困难的题我可能暂时没做，我会慢慢它们的补充解答。
5. 我说某点的“邻域（nbhd）”一般不特指开邻域，而是指包含此点某开邻域的集合，开的邻域我会单独说明。
6. 解答都是我自己做的或网络收集得到，我不能保证解答的正确性，如果发现有错误之处你可以评论纠错或给我发邮件。

Clarification:

1. I may skip some overly simple problems, such as checking the details of examples in the main text, straightforward verifications of definitions, or direct generalization of theorems from the text.
2. Some problems in Munkres are incorrect; I will note this where applicable.
3. I am not interested in topological groups, so I skip all related exercises.
4. Some challenging problems might remain unfinished for now, and I will gradually add their solutions.
5. When I refer to a “neighborhood (nbhd)” of a point, I do not necessarily mean an open neighborhood; rather, I mean any set containing some open neighborhood of that point. I will specify the openness if needed.
6. All solutions are either my own or collected from online sources. I cannot guarantee their correctness. If you spot any mistakes or typo, feel free to comment to correct me, or send me an email at mcwestlifer@gmail.com.

DisCoCat(Categorical Compositional Distributional Semantics)是一种使用范畴论来为自然语言提供语义解释的模型，我的导师让我阅读相关的文献做一个综述，作为我的本科毕业论文。我此前对NLP基本一无所知，所以我感觉这对我可能算是一个比较大的挑战。我目前粗读了几篇文章，感觉这个模型虽然实用性不大，但能将范畴论用在这个方面也算有点意思，所以打算开个文章简单介绍一下它，也算对我的思路做个梳理。

前言

旅行的意义是什么？我是说，在技术无所不能的前夕，互联网可以找到远比个人旅行能获取的更多信息，纪念品可以在网络上购到，占据大多数人旅行之大部分的人景合照可以由ps技术得到或ai生成。虽然我也同意目前技术还做不到完美，但倘若——我们就作这样的假设：技术若真发展到完美的地步，那么旅行的意义还余下些什么？毕竟大多数人的旅行基本只有拍照、品尝与观景。

有一个颇有哲学含义的定理这样是说的（米田嵌入），$A\cong B\Leftrightarrow \mathrm{Hom}(-, A)\cong\mathrm{Hom}(-, B)$。我想开始用感性的语言去解释这样的定理，在以往我可能会反对自己这种做法，但现在我的思想有了变化。

我们不妨把这叫作米田信夫的哲学：一件事物之完整内涵无外乎对其一切的感知。风是客观存在的事物，而我走出图书馆，感受到了面颊的吹拂，便知道了风的存在；我看到树的摇曳，便知道了风的方向；如果我还恰好站在老家的麦田中，那风便拥有了形状……如果有人能穷尽一切的途径去观察这风，那他不多不少正好可以还原这风的整个面貌。

距离上一次写博客已经过去近两年，说是写博客，当时更接近探索博客的各种主题，而实质的内容却没有。最近手头琐事终于告一段落，得来数月的空闲，遂想起重拾这段经历，想来自己这几年不缺乏经历，却缺了记录。

有一句话我的印象很深刻：If you can’t be a poet, be a poem. 我为自己的研究生方向选择了基础数学，而且是一个在基础数学中都算冷门的方向，有时候难免在夜不能寐时反问自己是否把路走太窄了。我一直深知自己在数学方面实在没太多天赋，仅凭年轻的热血就铁着头走到现在，虽还没撞到南墙，却时不时觉着前方有一堵障碍，我始终活在它的阴影之下，不知何时会碰上。

做数学就是写诗，这毫无疑问，无论是调侃为竞赛命题学的数学，还是做前沿的数学，都是在写一首首晦涩的诗，但我本科以来就很少体会到自己谱诗的乐趣，常常是对着一道命题作文无从下手，最后只得欣赏别人的作品。是否能顺利毕业呢，毕业后又何去何从，这些我都不敢去考虑，作为没有天赋的人走这条路，注定是付出比别人更多的努力，最后拿着比同龄人普遍低的薪水。但是话又说回来，我失眠的夜晚，往往是困在更广阔的生与死的问题，那么既然人只能活这一辈子，还不去追求自己的理想，稀里糊涂地赶路，岂不悲哉？一位老师讲过，所爱和所长重叠，实在可遇不可求，对于大多数人来说，所爱与所长，总要做出选择。所以既然我注定成不了诗人，那么我暂时选择成为一首诗。

回想这本科这三年的经历，我有一段时间像个中二少年一样，将自己伪装成沉浸在数学中的角色，对周遭的一切漠不关心，冷淡。但逐渐的才意识到自己正值而立之年，却整日在泡影一样的世界中，错过了世界的太多美好，我想到每天摸鱼学几个法语单词的日子里看到的一句话：La vérité ne se trouve d’ailleurs pas dans les livres, mais dans la vie. 真相不在书中，而在生活里。如果错过生活里的细节，那对自己灵魂的理解往往只存在自己大脑编造的幻象里，进行着某种角色扮演。

别人问我喜欢在乡村还是城市呢，一年前我将毫不犹豫地选择乡村，因为哪怕小时候在农村长大，我也没干过农活，于是总只是在幻想乡村中静谧平淡的日子，幻想自己喜欢一个人独居。但走过了更多地方后，我才明白自己其实离不开城市的喧嚣，我喜欢独处，但喜欢的是将自己置身在人群、车海中的孤独，喜欢将自己淹没在海量的故事与细节中，就像摩天大楼随机一层楼晚上的一盏灯，然后才终于明白小时候喜欢的一些游戏为何吸引我。所以我才说，想做一首世俗的诗。我做不到那些数学大师一样的超然世外，我离不开世俗的景色。