Integral quantaloid 的 weak tabularity 与 topos
本文的出发点是 $Q$-Set 何时构成 topos 的问题。胡晓与申力立在 Q-Set is not generally a topos（Theorem 5.6）中证明：对 commutative、unital、divisible quantale $Q$，$Q$-Set 是 topos 当且仅当 $Q$ 的乘法就是 meet，即 $Q$ 是 frame quantale。用 enriched category 的语言，所讨论的范畴正是 $K(DQ)$。
把底层从 $DQ$ 换成一般的 small integral involutive quantaloid $\mathcal Q$，仍然可以得到一个简洁的答案：$K(\mathcal Q)$ 是 topos 当且仅当 $\mathcal Q$ weakly tabular。下面记录这个刻画的证明。充分性接到已有的 sheaf representation theorem，必要性则来自 topos 中子对象并的有效性；最后再回到 $DQ$ 看原来的问题。